\section{Теорема Кантора}

\subsection*{54}

1) Если $A$ содержит отрезок:

Очевидно выбирается $a \in$ данный отрезок, это $a$ удовлетворяет условиям\\

2) Если не:

От противного, пусть $\forall a \in A \subset \mathbb{R}, \forall U(a) \leq$ счетное.

Тогда для всякого $a$, укажем в его окрестности $U(a)$ - две рациональные точки на равных расстояниях. Так как всего таких точек не более $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \sim \mathbb{N}$, значит таких интервалов будет не более чем счетное количество. И так как счетное объеденение не более чем счетных множеств не более чем счетно, и при этом так как объеденение всех интервалов равно $A$ - противоречие

\subsection*{55}

Так как $\forall a \in A$, поскольку нет изолированных точек $U(a) \subset A$, значит $A$ - бесконечно.

Пусть $A$ - счетно $\implies A = \{x_1, x_2, ...\}$. Тогда рассмотрим $\alpha \in A$. По условию $U(\alpha) \subset A$, выберем $a_1 \in U(\alpha): \alpha \notin \overline{U}(a_1)$ - замкнутая окрестность $a_1$. Далее выберем $a_2 \in U(a_1): a_1 \notin \overline{U}(a_2)$ и так далее

При этом, так как окрестности закрытые, по лемме Коши-Кантора $V = \bigcap\limits_n U(a_n)$ - непусто.

Но при этом $V \not\ni a_1, a_2, ...$ так что ему не принадлежит ни один элемент $A$ - противоречие

\subsection*{56}

Пусть $A$ - замкнутое подмножество $\mathbb {R}$. $B \subseteq A$ - множество состоящее из тех точек множества $A$, в любой окрестности которых несчётно много других точек из $A$. Покажем, что тогда $B$ - замкнуто и не имеет изолированных точек. Действительно, выберем любую точку $a_0 \in B$, так как в окрестности $U(a_0)$ существует несчетно количество точек, то мы можем построить последовательность которая сходиться к $a_0$, последовательно выбирая точку из окрестности, и сужая данную окрестность, значит $B$ - замкнуто. Пусть в нем существует изолированная точка $\alpha$, тогда существует окрестность $U(\alpha)$, которая пересекается с $B$ только в точке $\alpha$ - противоречие. Значит $B$ - замкнуто и не имеет изолированных точек

Если $B$ - пусто, то $A$ - не более, чем счетно. Взаправдашне, так как из предположения следует, что $\forall a \in A \subset \mathbb{R}, \forall U(a) \leq$ счетное, то по вышедоказанному естественным образом следует, что $A$ - не более чем счетно 

Если $B$ - не пусто, то $B$ (а, значит и $A$) имеет мощность континуум

\subsection*{57}

От противного. Пусть существуют 2 такие точки, что нельзя соединить двузвенной ломанной.

Проведем прямую между этими 2-мя точками и каждой ломанной сопоставим углы на которые откланяются звенья ломанной исходящие из точек относительно прямой. Так как такое сопоставление биективно, то таких ломанных $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$. При этом, для того что бы ломанная проходила через выброшенное множество достаточно, что бы одна точка из данного множества принадлежала хотя бы одной из звеньев. Тогда если не существует такой ломанной, что не проходит через выброшенное множество, в нем должно быть не меньше чем $\mathbb{R}$ точек - противоречие

\subsection*{58}

Каждому $n$ сопоставим множество из $n$ элементов. Тогда всякому $2^n$ соответствует $\mathcal{P}(n)$, значит по теореме Кантора $2^n > n$